Question

15．若m是1和4的等比中项，则圆锥曲线${x^2}+\frac{y^2}{m}=1$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据条件可得到m²=1•4，从而求出m=±2，m=2时，圆锥曲线为椭圆，可以求出c，a，从而可求出其离心率，同样，m=-2时，圆锥曲线为双曲线，可求出c，a，从而便可得出离心率．

解答 解：m是1和4的等比中项；
∴m²=4；
∴m=±2；
①m=2时，圆锥曲线为椭圆，离心率为e=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②m=-2时，圆锥曲线为双曲线，离心率为e=$\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$；
∴圆锥曲线的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或$\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或$\sqrt{3}$．

点评 考查等比数列的概念，等比数列的等比中项的概念，以及椭圆和双曲线的标准方程，椭圆和双曲线的离心率的计算．