Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-1，0），且离心率为$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设斜率为k的直线l过点P（0，2），且与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，求直线l的斜率k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆左焦点，求出c，再由离心率，求出a，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设A（设直线l的方程为y=kx+2，代入椭圆方程，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出直线l的斜率k的值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-1，0），
∴由题意知c=1，
又∵离心率为$\frac{1}{2}$，∴e=$\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$，解得a=2，
∴b²=4-1=3，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），依题意设直线l的方程为y=kx+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，并整理，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
∵直线l与椭圆C相交于A，B两点，∴△=192k²-48＞0，得k²＞$\frac{1}{4}$，
又x₁+x₂=$\frac{-16k}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{192{k}^{2}-48}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，
整理，得100k⁴+3k²-103=0，
解得k²=1或${k}^{2}=-\frac{103}{100}$（舍），
∵k²=1满足k²＞4，
∴直线l的斜率k的值为±1．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．