Question

18．下列命题中，假命题是（　　）

• A． 对任意双曲线C，C的离心率e＞1
• B． 椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$$+\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，在C上存在点P，使|PF₁|+|PF₂|=4
• C． 抛物线C：y²=4x的焦点为F，直线L：x=-2，在C上存在点P，点P到直线L的距离等于|PF|
• D． 椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$$+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，直线l：y=kx+1，对任意实数k，直线l与椭圆C总有两个公共点

Answer 1

分析 A根据双曲线离心率的定义即可判断结论正确；
B根据椭圆的定义即可判断结论正确；
C根据抛物线与准线的定义即可判断结论错误；
D根据直线l恒过定点，且定点在椭圆C内部，即可判断结论正确．

解答 解：对于A，对任意双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1中，c=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$＞a，
∴C的离心率为e=$\frac{c}{a}$＞1，A正确；
对于B，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$$+\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，
∴a²=4，∴a=2；
根据椭圆的定义知，在C上存在点P，使|PF₁|+|PF₂|=2a=4，B正确；
对于C，抛物线C：y²=4x的焦点为F，则F（1，0），
准线是x=-1，在C上存在点P，点P到直线x=-1的距离等于|PF|，
直线L：x=-2，在C上存在点P，点P到直线L的距离等于|PF|+1，∴C错误；
对于D，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$$+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，直线l：y=kx+1恒过A（0，1）点，
且点A在椭圆C内部，∴对任意实数k，直线l与椭圆C总有两个公共点，D正确．
故选：C．

点评 本题考查了圆锥曲线的定义、标准方程与应用问题，是中档题．