Question

5．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，M分别是AA₁，BC的中点，∠CDC₁=90°，在△ABC中，AB=2AC，∠BAC=60°．
（1）证明：AM∥平面BDC₁；
（2）证明：DC₁⊥平面BDC．

Answer 1

分析 （1）取BC₁的中点N，连接DN，MN，证明：四边形ADNM为平行四边形，可得DN∥AM，即可证明AM∥平面BDC₁；
（2）证明：DC₁⊥BC，DC₁⊥DC，且DC∩BC=C，即可证明DC₁⊥平面BDC．

解答 证明：（1）取BC₁的中点N，连接DN，MN，
则$MN∥\frac{1}{2}C{C_1}$且$MN=\frac{1}{2}C{C_1}$．
又$AD∥\frac{1}{2}C{C_1}$且$AD=\frac{1}{2}C{C_1}$，
∴AD∥MN，且AD=MN，
∴四边形ADNM为平行四边形，
∴DN∥AM．
又DN?平面BDC₁，AM?平面BDC₁，
∴AM∥平面BDC₁．
（2）由题设AC=1，则AB=2，
由余弦定理，得$BC=\sqrt{3}$．
由勾股定理，得∠ACB=90°，BC⊥AC₁．
又∵BC⊥CC₁，且CC₁∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁．
又DC₁?平面ACC₁A₁，∴DC₁⊥BC．
又DC₁⊥DC，且DC∩BC=C，
∴DC₁⊥平面BDC．

点评 本小题主要考查空间线面关系等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．