Question

20．在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是-2．

Answer 1

分析 求出函数y的导数，设切点为（m，n），由条件得到2=$\frac{2a}{m}$，n=2m+b，n=2alnm，即有b=2alna-2a（a＞0），再对b求导，求出单调区间，极值也为最值，即可得到所求．

解答 解：y=2alnx的导数为y′=$\frac{2a}{x}$，
由于直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线，
则设切点为（m，n），
则2=$\frac{2a}{m}$，n=2m+b，n=2alnm，
即有b=2alna-2a（a＞0），
b′=2（lna+1）-2=2lna，
当a＞1时，b′＞0，函数b递增，
当0＜a＜1时，b′＜0，函数b递减，即有a=1为极小值点，
也为最小值点，且最小值为：2ln1-2=-2．
故答案为：-2．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题．