Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=

1

2

a_n+

1

4

（-1）ⁿ-

1

4

，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：

1

|a1|

+

1

|a2|

+

1

|a3|

+…+

1

|an|

＞2（

n+1

-1）

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列

分析：（1）由题意先求出a₁=-1，再由通项与前n项和的关系可推出a_n=-a_n-1+（-1）ⁿ，从而求出a₂=2，从而推导可得a_n=a_n-2+2（-1）ⁿ，从而求数列{a_n}的通项公式；
（2）由题意，|a_n|=n，从而可得

1

|an|

=

2

2 n

＞

2

n+1 + n

=2（

n+1

-

n

），从而得证．

解答： 解：（1）①当n=1时，a₁=

1

2

a₁+

1

4

（-1）-

1

4

，解得，a₁=-1；
②当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

a_n+

1

4

（-1）ⁿ-

1

4

-（

1

2

a_n-1+

1

4

（-1）^n-1-

1

4

）
=

1

2

a_n-

1

2

a_n-1+

1

2

（-1）ⁿ，
则a_n=-a_n-1+（-1）ⁿ，
则a₂=-a₁+（-1）²=2；
∴a_n=-a_n-1+（-1）ⁿ=-（-a_n-2+（-1）^n-1）+（-1）ⁿ=a_n-2+2（-1）ⁿ，
当n为偶数时，a_n=a_n-2+2，则a_n=a₂ +（n-2）=n，
当n为奇数时，a_n=a_n-2-2，则a_n=a₁ -（n-1）=-n，
∴a_n=

n，n为偶数 -n，n为奇数

n∈N^*．
经检验，n=1，n=2时也成立；
（2）证明：∵|a_n|=n，
∴

1

|an|

=

2

2 n

＞

2

n+1 + n

=2（

n+1

-

n

），
∴

1

|a1|

+

1

|a2|

+

1

|a3|

+…+

1

|an|

＞2（

2

-1）+2（

3

-

2

）+…+2（

n+1

-

n

）
=2（

2

-1+

3

-

2

+…+

n+1

-

n

）
=2（

n+1

-1）．

点评：本题考查了数列的通项公式的求法，利用到了通项与前n项和的关系，同时应用了放缩法证明不等式，属于难题．