Question

已知函数f（x）=|x-a|+2x，a∈R．
（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）≥4x+2的解集；
（Ⅱ）若存在x使f（x）≤-|x+2|+2x+1成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当a=2时，|x-2|+2x≥4x+2?|x-2|≥2x+2，对x分x-2≥0与x-2＜0讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）≥4x+2的解集；
（Ⅱ）利用绝对值不等式|x-a|+|x+2|≥|x+2-x+a|=|a+2|及不等式|x-a|+|x+2|≤1即可求得a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=2时，|x-2|+2x≥4x+2，
即|x-2|≥2x+2，
∴

x-2≥0 x-2≥2x+2

或

x-2＜0 2-x≥2x+2

，
∴

x≥2 x≤-4

或

x＜2 x≤0

，
∴x≤0，即不等式的解集为{x|x≤0}…5分
（Ⅱ）若存在x使f（x）≤-|x+2|+2x+1 成立，即存在x使|x-a|+|x+2|≤1 成立，
∵|x-a|+|x+2|≥|x+2-x+a|=|a+2|，
∴|a+2|≤1，
∴-3≤a≤-1…10分

点评：本题考查含绝对值的不等式的解法，通过分类讨论，去掉绝对值符号是解决问题的关键，着重考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．