Question

设

n

P1+P2+…+Pn

为n个正数P₁，P₂，…，P_n的“均倒数”，已知数列{a_n}的前n项的“均倒数”为

1

3n+2

，则

1

a1a2

+

1

a2a3

+???+

1

anan+1

=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：根据数列{a_n}的前n项的“均倒数”为

1

3n+2

，即可求出S_n，然后利用裂项法进行求和即可．

解答： 解：∵数列{a_n}的前n项的“均倒数”为

1

3n+2

，
∴

n

Sn

=

1

3n+2

，
即S_n=3n²+2n，
∴a_n=S_n-S_n-1=6n-1，
∴数列{a_n}是等差数列，公差d=6．
∴

1

anan+1

=

1

(6n-1)(6n+5)

=

1

6

(

1

6n-1

-

1

6n+5

)，
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+???+

1

anan+1

=

1

6

(

1

5

-

1

11

+

1

11

-

1

17

+???+

1

6n-1

-

1

6n+5

)=

1

6

(

1

5

-

1

6n+5

)=

n

5(6n+5)

，
故答案为：

n

5(6n+5)

点评：本题主要考查数列的求和，利用裂项法是解决本题的关键，根据条件求出数列{a_n}的通项公式是突破点．