Question

给出下列五个命题：
①函数y=2sin（2x-

π

3

）的一条对称轴是x=

5π

12

；
②若sin（2x₁-

π

4

）=sin（2x₂-

π

4

），则x₁-x₂=kπ，其中k∈Z；
③正弦函数在第一象限为增函数；
④函数y=tanx的图象关于点（

π

2

，0）对称．
以上四个命题中正确的有

 

（填写正确命题前面的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质,简易逻辑

分析：①结合图象可知，正弦函数在对称轴处取得最值，因此只需验证此时是否取得最值即可；
②这实际上是函数y=sin（2x-

π

4

）的两函数值相等时，结合y=sinx图象可知，2x₁-

π

4

=2x₂-

π

4

+2kπ或2x₂-

π

4

=π-（2x₁-

π

4

）+2kπ，k∈Z；
③第一象限的角不只是一个区间上的角，是多个区间的并集，故③不对；
④结合正切函数的图象观查可以判断．

解答： 解：①由图象可知，正弦函数在对称轴处取得最值，将x=

5π

12

代入原函数得y=2sin

π

2

=2，是最大值，故①是真命题；
②结合y=sinx图象可知，若sin（2x₁-

π

4

）=sin（2x₂-

π

4

），则2x₁-

π

4

=2x₂-

π

4

+2kπ或2x₂-

π

4

=π-（2x₁-

π

4

）+2kπ，k∈Z，即x1+x2=

3

4

π+kπ，故②错；
③取第一象限的角

π

4

＜

9π

4

，但sin

π

4

=sin

9π

4

，所以③错；
④结合正切函数的图象可知，该函数关于点（

π

2

，0）对称，故④正确．
故答案为①④

点评：本题考查了三角函数的图象和性质，一般是从函数的图象入手来分析，要注意化归思想的应用，比如①对称问题转化为最值问题；②把括号内看成一个角联系正弦函数y=sinx的性质来解．