Question

4．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点为F（c，0）且a＞b＞c＞0，设短轴的两端点为D，H，原点O到直线DF的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|$\overrightarrow{GF}$|+|$\overrightarrow{CF}$|=4．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设O为坐标原点，过点P（0，1）的动直线与椭圆E交于A，B两点，是否存在常数λ，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$为定值？求λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的定义，则a=2，由bc=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²=4，由a＞b＞c＞0，即可求得b和c的值，即可求得椭圆方程；
（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，利用根与系数的关系、向量数量积运算性质即可得出定值．当直线AB的斜率不存在时，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$+2$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=-3-4=-7成立．

解答 解：（1）由椭圆的定义及对称性可知：|$\overrightarrow{GF}$|+|$\overrightarrow{CF}$|=4．则2a=4，a=2，
由题意，O到直线DF的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\frac{bc}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则bc=$\sqrt{3}$，
又a²=b²+c²=4，由a＞b＞c＞0，则b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，
A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²+8kx-8=0．
其判别式△＞0，
x₁+x₂=-$\frac{8k}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=-$\frac{8}{4{k}^{2}+3}$．
从而$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=x₁x₂+y₁y₂+λ[x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）]，
=（1+λ）（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=$\frac{-8（1+λ）（1+{k}^{2}）-4{k}^{2}+3}{4{k}^{2}+3}$=$\frac{4-2λ}{4{k}^{2}+3}$-2λ-3，
当λ=2时，$\frac{4-2λ}{4{k}^{2}+3}$-2λ-3=-7，
即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-7为定值．
当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，
此时$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$+2$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PD}$=-3-4=-7，
故存在常数λ=2，使得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+λ$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$为定值-7．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．