Question

15．已知向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为120°，且$|\overrightarrow{AB}|=3$，$|\overrightarrow{AC}|=2$，若$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$且$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$，则实数λ的值为（　　）

• A． $\frac{3}{7}$
• B． $\frac{7}{3}$
• C． $\frac{7}{12}$
• D． $\frac{12}{7}$

Answer 1

分析 运用向量数量积的定义，可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-3，再由向量垂直的条件：向量的数量积为0，以及向量平方即为模的平方，解方程即可得到所求值．

解答 解：向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为120°，且$|\overrightarrow{AB}|=3$，$|\overrightarrow{AC}|=2$，
可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3×2×cos120°=-3，
若$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$且$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$，
则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$=（λ$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AC}$²-λ$\overrightarrow{AB}$²+（λ-1）$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$
=4-9λ-3（λ-1）=0，
解得λ=$\frac{7}{12}$．
故选：C．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量垂直的条件：数量积为0，向量平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．