Question

18．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=A₁D₁=a，A₁B₁=2a，点P在线段AD₁上运动，当异面直线CP与BA₁所成的角最大时，则三棱锥C-PA₁D₁的体积为（　　）

• A． $\frac{a^3}{4}$
• B． $\frac{a^3}{3}$
• C． $\frac{a^3}{2}$
• D． a³

Answer 1

分析 当P与A重合时，异面直线CP与BA₁所成的角最大，由此能求出当异面直线CP与BA₁所成的角最大时，三棱锥C-PA₁D₁的体积．

解答 解：如图，当P与A重合时，
异面直线CP与BA₁所成的角最大，
∴当异面直线CP与BA₁所成的角最大时，
三棱锥C-PA₁D₁的体积：
${V}_{C-P{A}_{1}{B}_{1}}$=${V}_{C-A{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△A{A}_{1}{D}_{1}}×AB$
=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×A{A}_{1}×{A}_{1}{D}_{1}）×AB$
=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×a×a）×2a$
=$\frac{{a}^{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．