Question

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，点E是棱PA的中点，PB=PD，平面BDE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：PC⊥平面ABCD；
（Ⅲ） 设PC=λAB，试判断平面PAD⊥平面PAB能否成立；若成立，写出λ的一个值（只需写出结论）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AC∩BD=O，连接OE，推导出EO∥PC，由此能证明PC∥平面BDE．
（Ⅱ）法一：推导出△PAB≌△PAD，EO⊥BD，从而EO⊥平面ABCD，进而EO⊥AC，EO⊥BD，由此得到PC⊥AC，PC⊥BD，从而能证明PC⊥平面ABCD．
法二：连接PO，推导出BD⊥AC，PO⊥BD，从而BD⊥平面PAC，进而BD⊥OE，由此得到EO⊥平面ABCD，从而EO⊥AC，EO⊥BD，进而PC⊥AC，PC⊥BD，由此能证明PC⊥平面ABCD．
（Ⅲ） 由PC=λAB，得到平面PAD⊥平面PAB不能成立．

解答 （本小题9分）
证明：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连接OE，
因为底面ABCD为正方形，所以O是AC的中点，又点E是棱PA的中点，
所以EO是的△PAC中位线，所以EO∥PC，…（1分）
因为EO?平面BDE，PC?平面BDE，
所以PC∥平面BDE． …（3分）
（Ⅱ）证法一：在△PAB和△PAD中，
因为AB=AD，PB=PD，PA=PA，
所以△PAB≌△PAD，又点E是棱PA的中点，
所以EB=ED，…（5分）所以EO⊥BD，
因为平面BDE⊥平面ABCD，平面BDE∩平面ABCD=BD，EO?平面BDE
所以EO⊥平面ABCD，…（7分）所以EO⊥AC，EO⊥BD，
因为EO∥PC，所以PC⊥AC，PC⊥BD，又AC∩BD=O
所以PC⊥平面ABCD．   …（8分）
证法二：连接PO，因为底面ABCD是正方形，
所以O是BD的中点，BD⊥AC，又PB=PD，所以PO⊥BD，
又PO∩AC=O，PO?平面PAC，AC?平面PAC
所以BD⊥平面PAC
又OE?平面PAC，所以BD⊥OE，…（5分）
因为平面BDE⊥平面ABCD，平面BDE∩平面ABCD=BD，EO?平面BDE
所以EO⊥平面ABCD，…（7分）所以EO⊥AC，EO⊥BD，
因为OE∥PC，所以PC⊥AC，PC⊥BD，又AC∩BD=O
所以PC⊥平面ABCD．     …（8分）
（Ⅲ） 不能成立．  …（9分）

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查两平面能否垂直的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方思想、数形结合思想，是中档题．