Question

19．数列{a_n}满足a₁=1．a _n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N⁺）．若b _n+1=（n-2λ）•（$\frac{1}{{a}_{n}}+1$）（n∈N+），b₁=-$\frac{3}{2λ}$，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是$（\frac{1-\sqrt{13}}{4}，0）$∪$（0，\frac{1+\sqrt{13}}{4}）$．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=1．a _n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N⁺）．取倒数变形为：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=2$（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，利用等比数列的通项公式可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$+1，代入b _n+1=（n-2λ）•（$\frac{1}{{a}_{n}}+1$），根据数列{b_n}是单调递增数列，可得n≥2时，b_n+1≥b_n，n=1时，由b₂＞b₁，即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1．a _n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N⁺）．
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，变形为：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=2$（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}+1\}$是等比数列，首项为2，公比为2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2ⁿ，
∴b _n+1=（n-2λ）•（$\frac{1}{{a}_{n}}+1$）=（n-2λ）•2ⁿ，b₁=-$\frac{3}{2λ}$，
∵数列{b_n}是单调递增数列，
∴n≥2时，b_n+1≥b_n，∴（n-2λ）•2ⁿ≥（n-1-λ）•2^n-1，
化为：λ≤$\frac{1}{3}（n+1）$，∴λ≤$\frac{2}{3}$．
n=1时，由b₂＞b₁，可得：（1-2λ）×2$＞-\frac{3}{λ}$，
λ＞0时，化为：4λ²-2λ-3＜0，解得0＜λ＜$\frac{1+\sqrt{13}}{4}$．
λ＜0时，化为：4λ²-2λ-3＞0，解得$\frac{1-\sqrt{13}}{4}$＜λ＜0．
综上可得：实数λ的取值范围是 $（\frac{1-\sqrt{13}}{4}，0）$∪$（0，\frac{1+\sqrt{13}}{4}）$．
故答案为：$（\frac{1-\sqrt{13}}{4}，0）$∪$（0，\frac{1+\sqrt{13}}{4}）$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．