Question

2．把下列复数化为指数形式和极坐标形式．
（1）$\sqrt{2}+\sqrt{2}$i；
（2）-2+2i；
（3）1+i；
（4）-i．

Answer 1

分析 根据题意，把复数的代数形式表示为极坐标形式和指数形式即可．

解答 解：（1）∵$\sqrt{2}+\sqrt{2}$i对应点为（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴$ρ=\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}=2$．
∵$tanθ=\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$，
∴$θ=\frac{π}{4}$；
∴$\sqrt{2}+\sqrt{2}$i的极坐标形式为：（2，$\frac{π}{4}$）；
指数形式为：2${e}^{i\frac{π}{4}}$；
（2）-2+2i对应点为（-2，2），
ρ=$\sqrt{{（-2）}^{2}{+2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
tanθ=$\frac{2}{-2}$=-1，θ=$\frac{3π}{4}$；
∴-2+2i的极坐标形式为：（2$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$），
指数形式为：2$\sqrt{2}$${e}^{i\frac{3π}{4}}$；
（3）1+i对应点为（1，1），
ρ=$\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
tanθ=1，∴θ=$\frac{π}{4}$；
∴1+i的极坐标形式为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），
指数形式为$\sqrt{2}$${e}^{i\frac{π}{4}}$；
（4）-i对应点为（0，-1），
ρ=1，θ=$\frac{3π}{2}$；
∴-i对应极坐标形式为（1，$\frac{3π}{2}$），
指数形式为：${e}^{i\frac{3π}{2}}$．

点评 本题考查了复数三种形式的互化问题，是基础题．