Question

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，满足f（x）+f（y）=f（x•y）．
（1）求证：f（x）-f（y）=f(

x

y

)；
（2）若f（2）=-3，解不等式f（1）-f（

1

x-8

）≥-9．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x）+f（y）=f（xy），将x代换为

x

y

，代入恒等式中，即可证明；
（2）再利用f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，即可列出关于x的不等式，求解不等式，即可得到不等式的解集．

解答： 解：（1）证明：∵f（x）+f（y）=f（xy），
将x代换为为

x

y

，则有f（

x

y

）+f（y）=f（

x

y

•y）=f（x）
∴f（x）-f（y）=f（

x

y

）；
（2）∵f（2）=-3，
∴f（2）+f（2）=f（4）=-6，f（2）+f（4）=f（8）=-9
而由第（1）问知
∴不等式f（1）-f（

1

x-8

）=f（x-8）
可化为f（x-8）≥f（8）．
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，
∴x-8≤8且x-8＞0，
∴8＜x≤16
故不等式的解集是{x|8＜x≤16}．

点评：本题考查了抽象函数及其应用，考查了利用赋值法求解抽象函数问题，解决本题的关键是综合运用函数性质把抽象不等式化为具体不等式，也就是将不等式进行合理的转化，利用单调性去掉“f”．属于中档题．