Question

对称问题
①点关于点对称，如（x₀，y₀）关于（a，b）对称点为

 

．
②点关于线对称，如（1，2）关于y=3x对称点为

 

．特别地，（x₀，y₀）关于直线y=x对称的点为

 

，（x₀，y₀）关于直线y=-x对称的点为

 

．
③线关于点对称：如直线A_x+B_y+C=0关于点（x₀，y₀）对称的直线为

 

．
④线关于线对称：如：直线Ax+By+C=0关于直线y=x对称的直线方程为

 

；直线Ax+By+C=0关于直线y=-x对称的直线方程为

 

．

Answer 1

考点：与直线关于点、直线对称的直线方程

专题：直线与圆

分析：利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系（即中心对称与轴对称的性质）即可得出．

解答： 解：①设（x₀，y₀）关于（a，b）对称点为（x，y），则

a= x+x0 2 b= y+y0 2

，解得x=2a-x₀，y=2b-y₀，∴（x₀，y₀）关于（a，b）对称点为（2a-x₀，2b-y₀）．
②设（1，2）关于y=3x对称点为（x，y），则

y-2 x-1 ×3=-1 y+2 2 =3× 1+x 2

，解得x=

2

5

，y=

11

5

，因此其对称点为(

2

5

，

11

5

)．同理可得特别地，（x₀，y₀）关于直线y=x对称的点为（y₀，x₀），（x₀，y₀）关于直线y=-x对称的点为 （-y₀，-x₀）．
③设点P（x，y）关于点（x₀，y₀）对称的点在直线Ax+By+C=0上，则A（2x₀-x）+B（2y₀-y）+C=0，即为直线Ax+By+C=0关于点（x₀，y₀）对称的直线．
④设要求的直线上任意一点为P（x，y），由于P（x，y）关于直线y=x对称的点（y，x），∴直线Ax+By+C=0关于直线y=x对称的直线方程为Ay+Bx+C=0，
同理可得直线Ax+By+C=0关于直线y=-x对称的直线方程为-Ay-Bx+C=0．
故答案分别为：①（2a-x₀，2b-y₀），②(

2

5

，

11

5

)，（y₀，x₀），（-y₀，-x₀），③A（2x₀-x）+B（2y₀-y）+C=0，④Ay+Bx+C=0，-Ay-Bx+C=0．

点评：本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、中心对称与轴对称的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．