Question

已知二次函数f（x）=ax（x-1）（a≠0）且其图象的顶点恰好在函数y=log₂x的图象上．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数h（x）=|f（x）|+m恰有两个零点，求m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数解析式的求解及常用方法,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求出函数的顶点，根据顶点在函数y=log₂x的图象上，顶点-

a

4

=

log

1 2 2

，解出a的值，从而求出函数的表达式；
（2）根据f（x）的解析式，由函数图象的对折变换得到函数y=|f（x）|的图象，再由h（x）=|f（x）|+m恰有2个零点，则函数y=|f（x）|的图象与直线y=-m有且只有两个交点，数形结合得到m的取值范围．

解答： 解：（1）设f（x）=ax（x-1）（a≠0），
顶点坐标为（

1

2

，-

a

4

），
∵顶点在函数y=log₂x的图象上，
∴-

a

4

=

log

1 2 2

，解得a=4，
∴f（x）=4x²-4x．
（2）由（1）得：f（x）=4x（x-1），
则函数y=|f（x）|的图象如下图所示：

若h（x）=|f（x）|+m恰有2个零点，
则函数y=|f（x）|的图象与直线y=-m有且只有两个交点，
故-m＞1，或-m=0，
则m＜-1或m=0．

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，函数图象的对折变换，函数的零点，是函数的综合应用，难度中档．