Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上的点M（1，m）到其焦点F的距离为2
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线l与C交于A、B两点，O为坐标原点，以OA，OB为边，平行四边形OAPB，求点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意和抛物线的定义求出p，即可求出抛物线的方程；
（2）设P（x，y）、A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由（1）可得F（1，0）并设直线l的方程是x=my+1，代入抛物线方程消去x后，由韦达定理求出y₁+y₂和y₁y₂，由中点坐标公式求出AB的中点C的坐标，由平行四边形的性质知：AB的中点为C也是OP的中点，由中点坐标公式列出点P的参数方程，消去参数即可得点P的轨迹方程．

解答： 解：（1）因为点M（1，m）到焦点F的距离为2，
所以由抛物线的定义得：1+

p

2

=2，解得p=2，
则抛物线的方程是y²=4x；
（2）设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）可得F（1，0），设直线l的方程是x=my+1，
由

x=my+1 y2=4x

得，y²-4my-4=0，
则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，且△＞0，
设AB的中点为C，且C（x₀，y₀），
则y₀=

y1+y2

2

=2m，代入x=my+1得，x₀=my₀+1=2m²+1，
因为平行四边形OAPB的对角线互相平分，
所以AB的中点为C也是OP的中点，则

x 2 =2m2+1 y 2 =2m

，
消去m可得，y²=4（x-2），
则点P的轨迹方程是y²=4（x-2）．

点评：本题考查抛物线的方程、定义，直线与抛物线的问题，轨迹方程的求法，注意韦达定理的合理运用，解题时要注意合理地进行等价转化．