Question

已知点P，Q的坐标分别为（-2，0），（2，0），直线PM，QM相交于点M，且它们的斜率之积是-

1

4

．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与点M的轨迹交于A、B两点．试判断点O到直线AB的距离是否为定值．若是请求出这个定值，若不是请说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）M（x，y），由题可得

y

x+2

.

y

x-2

=-

1

4

，即可求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）（ⅰ）分类讨论，直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消去y，利用OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，整理得5m²=4（1+k²），即可得出结论

解答： 解：（Ⅰ）M（x，y），由题可得

y

x+2

.

y

x-2

=-

1

4

化简可得

x2

4

+y2=1
所以点M的轨迹方程为

x2

4

+y2=1（x≠±2）
（Ⅱ）点O到直线AB的距离为定值，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①当直线AB的斜率不存在时，则△AOB为等腰直角三角形，不妨设直线OA：y=x
将y=x代入

x2

4

+y2=1，解得x=±

2

5

5

所以点O到直线AB的距离为d=

2

5

5

；
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m与

x2

4

+y2=1(x≠±2)
联立消去y得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-4

1+4k2

因为OA⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₂=0，x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0
即（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0
所以(1+k2)

4m2-4

1+4k2

-

8k2m2

1+4k2

+m2=0，整理得5m²=4（1+k²），
所以点O到直线AB的距离d=

|m|

1+k2

=

2 5

5

综上可知点O到直线AB的距离为定值

2

5

5

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查学生分析解决问题的能力，弦长公式、韦达定理是解决该类问题的常用知识，要熟练掌握．