Question

已知函数f（x）=ax²+4x+2b-4a，当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，f（x）＜0；当x∈（-2，6）时，f（x）＞0．
（1）求a、b的值；
（2）设F（x）=-kf（x）+4（k+1）x+2（6k-1），当k取何值时，对?x∈[0，2]，函数F（x）的值恒为负数？

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）首先利用不等式的结果，从而确定方程的根，进一步确定二次函数的关系式．
（Ⅱ）根据恒成立问题，从而确定参数的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可知-2和6是方程ax²+4x+2b-4a=0的两根．
故

-2+6=- a 4 -2×6= 2b-4a a

，
解得 

a=-1 b=4.

（Ⅱ）f（x）=-x²+4x+12，
F（x）=-k（-x²+4x+12）+4（k+1）x+2（6k-1）=kx²+4x-2，
由F（x）＜0对?x∈[0，2]恒成立，
即kx²+4x-2＜0对?x∈[0，2]恒成立，
当x=0时，kx²+4x-2＜0成立；
当x∈（0，2]时，k＜(

-4x+2

x2

)min，
又

-4x+2

x2

=

2

x2

-

4

x

，
设t=

1

x

，则t∈[

1

2

，+∞)，
∴

2

x2

-

4

x

=2t²-4t=2（t-1）²-2，
当t=1时，(

-4x+2

x2

)min=-2，
所以k＜-2．

点评：本题考查的知识要点：二次函数解析式的确定，恒成立问题的应用及相关的运算问题．