题目内容
已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且点（1，
）在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，若
•
=0，求直线l的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，若
| OA |
| OB |
考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程
专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）由题意a=2，设所求椭圆方程为
+
=1，代入已知点，即可得到b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设出直线AB的方程为y=k（x-
），联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和向量的数量积坐标公式，化简整理，解方程，即可得到k，进而得到所求直线方程．
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| b2 |
（Ⅱ）设出直线AB的方程为y=k（x-
| 3 |
解答：
解：（Ⅰ）由题意a=2，设所求椭圆方程为
+
=1．
又点（1，
）在椭圆上，可得b=1．
则所求椭圆方程为
+y2=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4，b2=1，所以c=
，椭圆右焦点为（
，0）．
则直线AB的方程为y=k（x-
）．
由
可得（1+4k2）x2-8
k2x+12k2-4=0．
由于直线AB过椭圆右焦点，可知△＞0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=
，
y1y2=k2（x1-
）（x2-
）=k2[x1x2-
（x1+x2）+3]=
．
所以
•
=x1x2+y1y2=
+
=
．
由
•
=0，即
=0，可得k2=
，即k=±
．
所以直线l的方程为y=±
（x-
）．
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| b2 |
又点（1，
| ||
| 2 |
则所求椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4，b2=1，所以c=
| 3 |
| 3 |
则直线AB的方程为y=k（x-
| 3 |
由
|
| 3 |
由于直线AB过椭圆右焦点，可知△＞0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
8
| ||
| 1+4k2 |
| 12k2-4 |
| 1+4k2 |
y1y2=k2（x1-
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| -k2 |
| 1+4k2 |
所以
| OA |
| OB |
| 12k2-4 |
| 1+4k2 |
| -k2 |
| 1+4k2 |
| 11k2-4 |
| 1+4k2 |
由
| OA |
| OB |
| 11k2-4 |
| 1+4k2 |
| 4 |
| 11 |
2
| ||
| 11 |
所以直线l的方程为y=±
2
| ||
| 11 |
| 3 |
点评：本题考查椭圆的性质和方程的求法，考查联立直线方程和椭圆方程消去未知数，运用韦达定理，以及平面向量的数量积的坐标公式，考查化简整理和运算能力，属于中档题．
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设i为虚数单位，则复数z=
在复平面内对应的点位于（ ）
| 2i3 |
| 1+i |
| A、第一象限 | B、第二象限 |
| C、第三象限 | D、第四象限 |
下列判断，正确的是（ ）
| A、平行于同一平面的两直线平行 |
| B、垂直于同一直线的两直线平行 |
| C、垂直于同一平面的两平面平行 |
| D、垂直于同一平面的两直线平行 |