Question

设数列{b_n}满足b_n+2=-b_n+1-b_n（n∈N^*），b₂=2b₁．
（1）若b₃=3，求b₁的值；
（2）求证数列{b_nb_n+1b_n+2+n}是等差数列；
（3）设数列{T_n}满足：T_n+1=T_nb_n+1（n∈N^*），且T₁=b₁=-

1

2

，若存在实数p，q，对任意n∈N^*都有p≤T₁+T₂+T₃+…+T_n＜q成立，试求q-p的最小值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,压轴题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）直接由已知b₃=3结合题目给出的数列递推式求b₁的值；
（2）由b_n+2=-b_n+1-b_n，b_n+3=-b_n+2-b_n+1，作差后得到b_n+3=b_n，进一步利用作差法证明数列{b_nb_n-1b_n-2+n}是等差数列；
（3）由T_n+1=T_n•b_n+1=T_n-1b_nb_n+1=T_n-2b_n-1b_nb_n+1=…=b₁b₂b₃…b_n+1，得到当n≥2时，T_n=b₁b₂b₂…b_n，然后推出数列{T_3n-2+T_3n-1+T_3n）（n∈N^*）是等比数列，求出其前n项和S_n=T₁+T₂+T₃+…+T_n，再对n分当n=3k（k∈N^*）时，当n=3k-1（k∈N^*）时，当n=3k-2（k∈N^*）时具体求和，最后利用放缩法得答案．

解答： （1）解：∵b_n+2=-b_n+1-b_n，
∴b₃=-b₂-b₁=-3b₁=3，
∴b₁=-1；
（2）证明：∵b_n+2=-b_n+1-b_n ①，
∴b_n+3=-b_n+2-b_n+1 ②，
②-①得b_n+3=b_n，
∴（b_n+1b_n+2b_n+3+n+1）-（b_nb_n+1b_n+2+n）=b_n+1b_n+2（b_n+3-b_n）+1=1为常数，
∴数列{b_nb_n+1b_n+2+n}是等差数列；
（3）解：∵T_n+1=T_n•b_n+1=T_n-1b_nb_n+1=T_n-2b_n-1b_nb_n+1=…=b₁b₂b₃…b_n+1，
当n≥2时，T_n=b₁b₂b₂…b_n（*），
当n=1时，T₁=b₁适合（*）式
∴T_n=b₁b₂b₃…b_n（n∈N^*）．
∵b₁=-

1

2

，b₂=2b₁=-1，
b₃=-3b₁=

3

2

，b_n+3=b_n，
∴T₁=b₁=-

1

2

，T₂=T₁b₂=

1

2

，
T₃=T₂b₃=

3

4

，T₄=T₃b₄=T₃b₁=

3

4

T₁，
T₅=T₄b₅=T₂b₃b₄b₅=T₂b₁b₂b₃=

3

4

T₂，
T₆=T₅b₆=T₃b₄b₅b₆=T₃b₁b₂b₃=

3

4

T₃，
…
T_3n+1+T_3n+2+T_3n+3=T_3n-2b_3n-1b_3nb_3n+1+
T_3n-1b_3nb_3n+1b_3n+2+T_3nb_3n+1b_3n+2b_3n+3
=T_3n-2b₁b₂b₃+T_3n-1b₁b₂b₃+T_3nb₁b₂b₃
=

3

4

（T_3n-2+T_3n-1+T_3n），
∴数列{T_3n-2+T_3n-1+T_3n）（n∈N^*）是等比数列，
首项T₁+T₂+T₃=

3

4

且公比q=

3

4

，
记S_n=T₁+T₂+T₃+…+T_n，
①当n=3k（k∈N^*）时，
S_n=（T₁+T₂+T₃）+（T₄+T₅+T₆）…+（T_3k-2+T_3k-1+T_3k）
=

3 4 [1-( 3 4 )k]

1- 3 4

=3[1-(

3

4

)k]．
∴

3

4

≤S_n＜3；
②当n=3k-1（k∈N^*）时，
S_n=（T₁+T₂+T₃）+（T₄+T₅+T₆）+…+（T_3k-2+T_3k-1+T_3k）-T_3k
=3[1-(

3

4

)k]-(b1b2b3)k=3-4•(

3

4

)k．
∴0≤S_n＜3；
③当n=3k-2（k∈N^*）时，
S_n=（T₁+T₂+T₃）+（T₄+T₅+T₆）+…+（T_3k-2+T_3k-1+T_3k）-T_3k-1-T_3k
=3[1-(

3

4

)k]-(b1b2b3)k-1b1b2-(b1b2b3)k
=3[1-(

3

4

)k]-

1

2

(

3

4

)k-1-(

3

4

)k
=3-

14

3

•(

3

4

)k．
∴-

1

2

≤Sn＜3．
综上得：-

1

2

≤Sn＜3．
则p≤-

1

2

且q≥3．
∴q-p的最小值为

7

2

．

点评：本题考查了等差关系的判断与应用，考查了等比关系的判断，训练了数列的分组求和与等比数列的前n项和，考查了数列不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想方法，是压轴题．