Question

11．函数y=Asin（ωx+ϕ），（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）在一个周期内的图象如图所示．
（1）求该函数的解析式．
（2）当$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{6}]$时，求该函数的值域．

Answer 1

分析 （1）由图可知A=2，由周期公式可得ω=2，代入点（-$\frac{π}{12}$，2）可得ϕ=$\frac{2π}{3}$，可得y=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）；
（2）由$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{6}]$，可得2x+$\frac{2π}{3}$∈[$-\frac{π}{3}$，π]，结合正弦函数的图象可得．

解答 解：（1）由图可知A=2，T=$\frac{5π}{12}$-（-$\frac{π}{12}$）=$\frac{2π}{ω}$，
解得ω=2，∴y=2sin（2x+ϕ），
代入点（-$\frac{π}{12}$，2）可得2=2sin（-$\frac{π}{6}$+ϕ），
∴sin（-$\frac{π}{6}$+ϕ）=1，-$\frac{π}{6}$+ϕ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∵0＜ϕ＜π，∴当k=时，ϕ=$\frac{2π}{3}$，
∴函数的解析式为y=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）；
（2）∵$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{6}]$，∴2x+$\frac{2π}{3}$∈[$-\frac{π}{3}$，π]，
∴当2x+$\frac{2π}{3}$=$-\frac{π}{3}$即x=$-\frac{π}{2}$时，函数取最小值-$\sqrt{3}$；
当2x+$\frac{2π}{3}$=$\frac{π}{2}$即x=-$\frac{π}{12}$时，函数取最大值2，
故函数的值域为[-$\sqrt{3}$，2]．

点评 本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的解析式求解和值域，属基础题．