Question

10．已知函数f（x）=x|x-a|，其中a∈R
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）解关于x的不等式：f（x）≥2a²；
（3）若函数f（x）=1有三个不等实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，从而判断函数的奇偶性；
（2）分类讨论以去绝对值号，从而化简不等式求解；
（3）化简f（x）-1=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax-1，x≥a}\\{-{x}^{2}+ax-1，x＜a}\end{array}\right.$，从而分类讨论确定函数的单调性及极值，从而解得．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=x|x|，
故f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），
故f（x）是奇函数；
当a≠0时，f（a）=0，f（-a）=-a|2a|≠0，
故函数f（x）是非奇非偶函数；
（2）①当a=0时，
f（x）≥2a²可化为x|x|≥0，
故x≥0；
②当a＞0时，当x≥a时，
x²-ax-2a²≥0，
解得，x≥2a或x≤-a（舍去）；
当x＜a时，
x²-ax+2a²≤0，无解；
故不等式的解集为x≥2a；
③当a＜0时，当x≥a时，
x²-ax-2a²≥0，
解得，x≤2a（舍去）或x≥-a；
当x＜a时，
x²-ax+2a²≤0，无解；
故不等式的解集为x≥-a；
综上所述，
当a≥0时，不等式的解集[2a，+∞）；
当a＜0时，不等式的解集[-a，+∞）．
（3）f（x）-1=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax-1，x≥a}\\{-{x}^{2}+ax-1，x＜a}\end{array}\right.$，
①当a=0时，f（x）在其定义域上单调递增，
故函数f（x）=1有且只有一个实根；
②当a＞0时，f（x）在（-∞，$\frac{a}{2}$]上是增函数，
在（$\frac{a}{2}$，a）上是减函数，在[a，+∞）上是增函数；
且f（a）=-1，
故只需使f（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{{a}^{2}}{2}$-1＞0，
解得，a＞2；
③当a＜0时，f（x）在（-∞，a]上是增函数，
在（a，$\frac{a}{2}$）上是减函数，在[$\frac{a}{2}$，+∞）上是增函数；
且f（a）=-1，
故不可能有三个实根；
综上所述，a＞2．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及绝对值函数的应用．