Question

10．已知数列{a_n}的首项a₁=2，数列{b_n}为等比数列，且b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，又b₁₀b₁₁=2017${\;}^{\frac{1}{10}}$，则a₂₁=4034．

Answer 1

分析 由已知结合b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，得到a₂₁=b₁b₂…b₂₀，结合b₁₀b₁₁=2017${\;}^{\frac{1}{10}}$，及等比数列的性质求得a₂₁．

解答 解：由b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，且a₁=2，得b₁=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{{a}_{2}}{2}$．
b₂=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$，a₃=a₂b₂=2b₁b₂．
b₃=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$，a₄=a₃b₃=2b₁b₂b₃．
…
a_n=2b₁b₂…b_n-1．
∴a₂₁=2b₁b₂…b₂₀．
∵数列{b_n}为等比数列，
∴a₂₁=2（b₁b₂₀）（b₂b₁₉）…（b₁₀b₁₁）=2$（201{7}^{\frac{1}{10}}）^{10}$=4034．
故答案为：4034．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比数列的性质，是中档题．