Question

3．已知：x，y，z∈R⁺且$\frac{x}{2+x}$+$\frac{y}{2+y}$+$\frac{z}{2+z}$=1，求证：$\frac{{x}^{2}}{2+x}$+$\frac{{y}^{2}}{2+y}$+$\frac{{z}^{2}}{2+z}$≥1．

Answer 1

分析 由条件可得$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{y+2}$+$\frac{1}{z+2}$=1，即有$\frac{{x}^{2}}{2+x}$+$\frac{{y}^{2}}{2+y}$+$\frac{{z}^{2}}{2+z}$=（$\frac{{x}^{2}}{2+x}$+$\frac{{y}^{2}}{2+y}$+$\frac{{z}^{2}}{2+z}$）（$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{y+2}$+$\frac{1}{z+2}$），运用柯西不等式即可得证．

解答 证明：$\frac{x}{2+x}$+$\frac{y}{2+y}$+$\frac{z}{2+z}$=1，即为：
$\frac{x+2-2}{x+2}$+$\frac{y+2-2}{y+2}$+$\frac{z+2-2}{z+2}$=1，（x，y，z＞0）
可得$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{y+2}$+$\frac{1}{z+2}$=1，
则$\frac{{x}^{2}}{2+x}$+$\frac{{y}^{2}}{2+y}$+$\frac{{z}^{2}}{2+z}$=（$\frac{{x}^{2}}{2+x}$+$\frac{{y}^{2}}{2+y}$+$\frac{{z}^{2}}{2+z}$）（$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{y+2}$+$\frac{1}{z+2}$）
≥（$\frac{x}{\sqrt{2+x}}$•$\frac{1}{\sqrt{2+x}}$+$\frac{y}{\sqrt{2+y}}$•$\frac{1}{\sqrt{2+y}}$+$\frac{z}{\sqrt{2+z}}$•$\frac{1}{\sqrt{2+z}}$）²
=（$\frac{x}{2+x}$+$\frac{y}{2+y}$+$\frac{z}{2+z}$）²=1．
则原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用柯西不等式，考查推理能力，属于中档题．