Question

8．已知a₁=$\frac{1}{2}，{a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+2{a_n}}}$（n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄并由此猜想数列{a_n}的通项公式a_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由a₁=$\frac{1}{2}，{a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+2{a_n}}}$（n∈N^*），分别令n=2，3，4，即可得出；
（2）由（1）猜想：${a_n}=\frac{1}{2n}$（n∈N^*）利用数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）因为a₁=$\frac{1}{2}，{a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+2{a_n}}}$（n∈N^*）

所以${a_2}=\frac{{\frac{1}{2}}}{{1+2×\frac{1}{2}}}=\frac{1}{4}$，${a_3}=\frac{{\frac{1}{4}}}{{1+2×\frac{1}{4}}}=\frac{1}{6}$，${a_4}=\frac{{\frac{1}{6}}}{{1+2×\frac{1}{6}}}=\frac{1}{8}$
由此猜想数列{a_n}的通项公式${a_n}=\frac{1}{2n}$（n∈N^*）
（2）下面用数学归纳法证明
①当n=1时，${a_1}=\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2×1}$，猜想成立
②假设当n=k （k∈N^*，k≥1）时，猜想成立，即${a_k}=\frac{1}{2k}$
那么a_k+1=$\frac{{a}_{k}}{1+2{a}_{k}}$=$\frac{{\frac{1}{2k}}}{{1+2\frac{1}{2k}}}=\frac{1}{2k}•\frac{k}{k+1}=\frac{1}{2（k+1）}$．
即当n=k+1时，猜想也成立；
综合①②可知，对?n∈N^*猜想都成立，即${a_n}=\frac{1}{2n}$（n∈N^*）

点评 本题考查了数学归纳法、递推公式、数列的通项公式，考查了猜想归纳能力与计算能力，属于中档题．