Question

11．已知a，b，c，d都是实数，且a²+b²=1，c²+d²=4，
求证：|ac+bd|≤2．

Answer 1

分析 方法一、运用分析法证明，可通过两边平方，完全平方公式即可得证；
方法二、运用作差比较法，结婚条件和配方即可得证；
方法三、运用三角换元法，可令a=cosα，b=sinα，c=2cosβ，d=2sinβ（α，β∈R），运用两角差的余弦公式，以及余弦函数的值域即可得证．

解答 证法一：要证|ac+bd|≤2成立，
只要证（ac+bd）²≤4即可，
只需证（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²）即可，
即证2acbd≤a²d²+b²c²，
即证（ad-bc）²≥0，
由题知a，b，c，d都是实数，（ad-bc）²≥0显然成立．
故|ac+bd|≤2．
证法二：（ac+bd）²-4=（ac+bd）²-（a²+b²）（c²+d²）
=2acbd-a²d²-b²c²=-（ad-bc）²，
由题知a，b，c，d都是实数，（ad-bc）²≥0，
即ac+bd）²-4≤0，
故|ac+bd|≤2．
证法三：设a=cosα，b=sinα，c=2cosβ，d=2sinβ（α，β∈R），
则|ac+bd|=|2cosαcosβ+2sinαsinβ|
=2|cosαcosβ+sinαsinβ|=2|cos（α-β）|≤2，
故|ac+bd|≤2．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用分析法和作差比较法，以及三角换元法，考查推理能力，属于中档题．