Question

20．己知函数f（x）=x³-3x，若过点A（1，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，则实数m的取值范围是（　　）

• A． -1＜m＜1
• B． -4＜m＜4
• C． -1＜m＜-2
• D． -3＜m＜-2

Answer 1

分析 先设切点坐标，用导数求出切线斜率，再用斜率公式求出切线斜率，两者相等，得到含m的方程，因为过点A（1，m） 可作曲线y=f（x）的三条切线，所以前面所求方程有3解，再借助导数判断何时方程有3解即可．

解答 解；设切点坐标（x₀，x₀³-3x），
∵f（x）=x³-3x，∴f′（x）=3x²-3
∴曲线y=f（x）在（x₀，x₀³-3x）处的切线斜率为3x₀²-3
又∵切线过点A（1，m），∴切线斜率为$\frac{{{x}_{0}}^{3}-3x-m}{{x}_{0}-1}$，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{3}-3x-m}{{x}_{0}-1}$=3x₀²-3
即2x₀³-3x₀²+m+3=0  ①
∵过点A（1，m） 可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴方程①有3解．
令ω（x₀）=2x₀³-3x₀²+m+3，则ω（x₀）图象与x轴有2个交点，∴ω（x₀）的极大值与极小值异号
ω′（x₀）=6x₀²-6x₀，令ω′（x₀）=0，得x₀=0或1
∴ω（0）ω（1）＜0，即（m+3）（m+2）＜0
∴-3＜m＜-2，
故选D．

点评 本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数判断方程根的个数．