Question

5．已知函数f（x）=ax-lnx，（a∈R），
（1）是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
（2）当x∈（0，e]时，证明：e²x²-$\frac{5}{2}$x＞（x+1）lnx．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a的值即可；
（2）令F（x）=e²x-lnx，求出F（x）的最小值，令ω（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{5}{2}$，求出ω（x）的最大值，从而证出结论即可．

解答 解：（1）假设存在实数a，使f（x）=ax-lnx，（x∈（0，e]）有最小值3，$f'（x）=\frac{ax-1}{x}$
①当a≤0时，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）_min（x）=f（e）=ae-1=3，
a=$\frac{4}{e}$（舍去），
②当0＜$\frac{1}{a}$＜e时，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递减，在（$\frac{1}{a}$，e]上单调递增，
∴$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{a}）=1+lna=3$，a=e²，满足条件．
③当$\frac{1}{a}$≥e时，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，
a=$\frac{4}{e}$（舍去），
综上，存在实数a=e²，使得x∈（0，e]时，f（x）有最小值3；
（2）令F（x）=e²x-lnx，由（1）得：F（x）_min=3，
令ω（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{5}{2}$，则ω′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令ω′（x）＞0，解得：0＜x＜e，故ω（x）在（0，e]递增，
∴ω（x）_max=ω（e）=3，
∴e²x²-$\frac{5}{2}$x＞（x+1）lnx．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及放假分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．