Question

函数y=

2sinx+1

cosx-3

的值域是

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：原式变形可得ycosx-2sinx=1+3y，由三角函数的有界性可得y的不等式，解不等式可得．

解答： 解：∵y=

2sinx+1

cosx-3

，∴y（cosx-3）=2sinx+1，
变形可得ycosx-2sinx=1+3y，
即

y2+(-2)2

cos（x+θ）=1+3y，其中tanθ=

2

y

，
∵|

y2+(-2)2

cos（x+θ）|≤

y2+(-2)2

∴|1+3y|≤

y2+(-2)2

，
即（1+3y）²≤y²+4
解得

-3- 33

8

≤y≤

-3+ 33

8

故函数的值域为：[

-3- 33

8

，

-3+ 33

8

]
故答案为：[

-3- 33

8

，

-3+ 33

8

]

点评：本题考查三角函数的最值，涉及不等式的解法，属中档题．