Question

求函数f（x）=ax+

1-a

x

在x∈[

1

2

，2]上的最值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：导数的综合应用

分析：根据函数的性质，两个函数满足：增+增=增，减+减=减．所以先不忙于求函数的导数，先利用函数的性质单独讨论单调性，在参量a的范围缩小后再对函数求导；可从a=0、a-1=0、a与1-a两个中都为正、一正一负、一负一正、都为负入手．

解答： 解：直接从a 与1-a的符号分类：a＜0时，1-a＞0，故a与1-a不能同为负值，∴a与1-a的取值情况共有五类：
第一类：a=0；
第二类：1-a=0即a=1；
第三类：a＜0时，1-a＞0，即a＜0；
第四类：a＞0时，1-a＜0，即a＞1；
第五类：a＞0时，1-a＞0，即0＜a＜1；
（1）当a=0时，f（x）=

1

x

，∴f（x）在[

1

2

，2]递减；
（2）当a=1时，f（x）=x，∴f（x）在[

1

2

，2]递增；
（3）当a＜0时，∵1-a＞0，∵ax递减，

1-a

x

递减，∴f（x）在[

1

2

，2]递减；
此时，f（x）_min=f(2)=2a+

1-a

2

=

3a+1

2

，即fmin=f(2)=

3a+1

2

，fmax=f(

1

2

)=

4-3a

2

；
（4）当a＞1时，∵a＞0时，1-a＜0，∵ax递增，

1-a

x

递增，∴f（x）在[

1

2

，2]递增；
（5）当0＜a＜1时，∴a＞0且1-a＞0，
f′（x）=a-

1-a

x2

=

ax2-(1-a)

x2

=

a(x2- 1-a a )

x2

=

a(x+ 1-a a )(x- 1-a a )

x2

∵x∈[

1

2

，2]，∴x²＞0，x+

1-a a

＞0，又a＞0，∴f′（x）的正负取决于x-

1-a a

，
∴x∈（0，

1-a a

）时，x-

1-a a

＜0，∴f′（x）＜0，f（x）递减，
同理，x∈（

1-a a

，+∞）时，f（x）递增，
∴当

1-a a

≤

1

2

即a≥

4

5

时函数在[

1

2

，2]递增；当

1-a a

≥2即a≤

1

5

时函数在[

1

2

，2]递减；
当

1

2

≤

1-a a

≤2即

1

5

≤a≤

4

5

时函数在[

1

2

，2]先减后增，∴fmin=f(

1-a a

)=2

a(1-a)

，
再由f(

1

2

)＞f(2)，即(

a

2

+

1-a

1 2

)＞(2a+

1-a

2

)，解得a＜

1

2

，∴fmax=f(

1

2

)=

4-3a

2

，
当a≥

1

2

时，f_max=f（2）=

3a=1

2

；
∴综上五方面，①当a≤

1

5

时，函数在[

1

2

，2]递减，即fmin=f(2)=

3a+1

2

，fmax=f(

1

2

)=

4-3a

2

；
②当a≥

4

5

时，函数在[

1

2

，2]递增，此时，fmin=f(

1

2

)=

4-3a

2

，f_max=f（2）=

3a=1

2

；
③当

1

5

≤a≤

4

5

时，函数在[

1

2

，2]先减后增，fmin=f(

1-a a

)=2

a(1-a)

，
而最大值分两种情况：当

1

5

≤a≤

1

2

时，fmax=f(

1

2

)=

4-3a

2

；当

1

2

≤a≤

4

5

时，时，f_max=f（2）=

3a=1

2

．

点评：本题主要考查函数与导数的综合应用及分类讨论的数学思想．本题的难点在于函数表达式中参变量有两部分，处理的技巧是先不忙于求函数的导数，先利用函数的性质单独讨论单调性，在参量a的范围缩小后再对函数求导；其次，本题的另一难点在于，函数在区间先减后增时，函数的最大值在区间的端点取得，而大小还不一定，仍需要分类讨论．