Question

在等差数列{a_n}中，a₁₀=23，a₂₅=-22，S_n为其前n项和
（1）该数列从第几项开始为负数；
（2）求S_n；
（3）求使S_n＜0的最小的正整数n，
（4）求T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|的表达式．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的通项公式可得公差d，即可得出；
（2）利用等差数列的前n项和公式即可得出；
（3）由S_n＜0，解出即可；
（4）由（1）可得：数列{a_n}的前17项大于0，从第18项开始为负数．可得当n≤17时，T_n=S_n=

1

2

(-3n2+103n)；当n≥18时，T_n=S₁₇-a₁₈-a₁₉-…-a_n
=2S₁₇-S_n，即可得出．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁₀=23，a₂₅=-22，∴a₂₅=a₁₀+15d，∴-22=23+15d，解得d=-3．
∴a_n=a₁₀+（n-10）d=23-3（n-10）=53-3n．
令a_n＜0，解得n＞

53

3

=17+

2

3

，
因此该数列从第18项开始为负数．
（2）由（1）可得：S_n=

n(50+53-3n)

2

=

-3n2+103n

2

．
（3）由S_n＜0，可得-3n²+103n＜0，解得n＞

103

3

=34+

1

3

，
∴使S_n＜0的最小的正整数n=35．
（4）由（1）可得：数列{a_n}的前17项大于0，从第18项开始为负数．
∴当n≤17时，T_n=S_n=

1

2

(-3n2+103n)；
当n≥18时，T_n=S₁₇-a₁₈-a₁₉-…-a_n
=2S₁₇-S_n
=（-3×17²+103×17）-

1

2

(-3n2+103n)
=884-

1

2

(-3n2+103n)．

点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、含绝对值的数列求和问题，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．