Question

函数f（x）=4sin（

2x

3

+

π

6

）-3．
（1）当x∈[0，π]，求f（x）的值域；
（2）求f（x）的增区间；
（3）说明函数f（x）=4sin（

2x

3

+

π

6

）-2是由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到的？

Answer 1

考点：正弦函数的图象,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得当x∈[0，π]，求f（x）的值域．
（2）令2kπ-

π

2

≤

2x

3

+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数f（x）的增区间．
（3）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答： 解：（1）当x∈[0，π]，

2x

3

+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，∴sin（

2x

3

+

π

6

）∈[

1

2

，1]，
故函数f（x）=4sin（

2x

3

+

π

6

）-3的值域为[-1，1]．
（2）令2kπ-

π

2

≤

2x

3

+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得3kπ-π≤x≤3kπ+

π

2

，故函数f（x）的增区间为[3kπ-π，3kπ+

π

2

]，k∈z．
（3）把函数y=sinx的图象向左平移

π

6

个单位，可得函数y=sin（x+

π

6

）的图象；
再把所得图象上各点的横坐标变为原来的

3

2

倍，可得函数y=sin（

2

3

x+

π

6

）的图象；
再把所得图象上各点的纵坐标变为原来的4倍，可得函数y=4sin（

2

3

x+

π

6

）的图象；
再把所得图象向下平移3个单位，可得函数y=4sin（

2

3

x+

π

6

）-3的图象．

点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．