Question

已知F₁，F₂为双曲线

x2

5

-

y2

4

=1的左、右焦点，P（3，1）为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|+|AF₂|的最小值为（　　）

• A、

  37

  +4
• B、

  37

  -4
• C、

  37

  -2

  5

• D、

  37

  +2

  5

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的a，b，c，得到焦点，由题意可得P在右支上，利用双曲线的定义|AF₂|=|AF₁|-2a及不等式即可求得|PA|+|AF₂|的最小值．

解答： 解：∵双曲线

x2

5

-

y2

4

=1，
∴a=

5

，半焦距c=3，
∴右焦点F₂（3，0），左焦点F₁（-3，0）；
又P（3，1），A是双曲线上一点，
∴当点P在双曲线的右支上时，|AP|+|AF₂|取得最小值，
∴|AF₂|=|AF₁|-2a=|AF₁|-2

5

，
∴|AP|+|AF₂|=|AP|+|AF₁|-2

5

≥|PF₁|-2

5

=

(3+3)2+(1-0)2

-2

5

=

37

-2

5

．
当且仅当P，A，F₁共线时，取得最小值

37

-2

5

．
故选C．

点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查两点间线段最短，考查运算能力，属于中档题．