Question

已知正三棱锥P-ABC中，E、F分别是AC，PC的中点，若EF⊥BF，AB=2，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：球

分析：证明以PA、PB、PC为从同一点P出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，求出半径即可求解球的表面积．

解答： 解：∵E、F分别是AC，PC的中点，∴EF∥PA，
∵P-ABC是正三棱锥，
∴PA⊥BC（对棱垂直），
∴EF⊥BC，又EF⊥BF，而BF∩BC=B，
∴EF⊥平面PBC，
∴PA⊥平面PBC，
∴∠APB=∠APC=∠BPC=90°，
以PA、PB、PC为从同一点P出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，
正方体的体对角线就是外接球的直径，
又AB=2，∴PA=

2

，
∴2R=

3

PA=

6

，
∴R=

6

2

，
∴三棱锥P-ABC的外接球的表面积为：4πR²=4π×(

6

2

)2=6π．
故答案为：6π．

点评：本题考查几何体的外接球的表面积的求法，判断几何体与球的关系，求出球的半径是解题的关键．