Question

已知圆O以原点为圆心，且与直线5x-12y+26=0相切．
（1）求圆O的方程；
（2）若直线l过点（1，2），且被圆O截得的弦长为2

3

，求直线l的方程；
（3）由圆O上任意一点M向x轴作垂线，垂足为N，P是直线MN上一点且满足|NP|=2|PM|，求点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,轨迹方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）求出圆心到直线5x-12y+26=0的距离，得到半径，即可求圆O的方程；
（2）求出圆心到直线l的距离为

4-3

=1，利用直线l过点（1，2），分类讨论，即可求直线l的方程；
（3）设P（x，y），M（x，y′），N（x，0），利用|NP|=2|PM|，确定M，P坐标之间的关系，即可求点P的轨迹方程．

解答： 解：（1）圆心到直线5x-12y+26=0的距离d=

26

13

=2，
∴圆O的方程为x²+y²=4；
（2）∵直线l被圆O截得的弦长为2

3

，
∴圆心到直线l的距离为

4-3

=1，
∵直线l过点（1，2），
∴斜率不存在时，直线l的方程x=1满足；
斜率存在时，设直线的方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
∴圆心到直线l的距离

|-k+2|

k2+1

=1，
∴k=

3

4

，
∴直线l的方程为3x-4y-5=0，
综上所述，直线l的方程为x=1或3x-4y-5=0；
（3）设P（x，y），M（x，y′），N（x，0），则
①

NP

=2

PM

，可得（0，y）=2（x，y′-y），∴y′=

3

2

y，
∵M在圆上，
∴x²+

9

4

y²=4；
②

NP

=-2

PM

，可得（0，y）=-2（x，y′-y），∴y′=

1

2

y，
∵M在圆上，
∴x²+

1

4

y²=4．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．