Question

设数列{a_n}满足下列关系：a₁=2a（a≠0，a为常数），a_n=2a-

a2

an-1

；数列{b_n}满足关系：b_n=

1

an-a

．
（1）求证：a_n≠a；
（2）证明数列{b_n}是等差数列．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列,推理和证明

分析：（1）假设a_n=a，利用a_n=2a-

a2

an-1

=a，可得a_n-1=a，这与a₁=2a（a≠0，a为常数）矛盾，从而可证结论成立；
（2）利用等差数列的定义，可证b_n+1-b_n=

1

an+1-a

-

1

an-a

=

1

a

，从而数列{b_n}是等差数列．

解答： 证明：（1）假设a_n=a，
∵a_n=2a-

a2

an-1

，则2a-

a2

an-1

=a，∵a≠0，
解得：a_n-1=a，这与a₁=2a（a≠0，a为常数）矛盾，
∴a_n≠a；
（2）∵b_n=

1

an-a

，a_n=2a-

a2

an-1

；
∴b_n+1-b_n=

1

an+1-a

-

1

an-a

=

an

a(an-a)

-

1

an-a

=

an-a

a(an-a)

=

1

a

，为常数，
故数列{b_n}是首项为

1

a

，公差为

1

a

的等差数列．

点评：本题考查等差数列的定义，考查递推关系的应用及推理与证明，考查反证法，属于中档题．