Question

S={1，2，…，2003}，A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等差数列．那么，这样的三元子集A的个数是（　　）

• A、

  C

  2 2003

• B、

  C

  2 1001

  +

  C

  2 1002

• C、

  A

  2 1001

  +

  A

  2 1002

• D、

  A

  3 2003

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：排列组合

分析：1，2，…，2003个数中有1002个奇数，1001个偶数，依题意，A中的三个数成等差数列，可分两类：①3个数中有至少2个奇数，②3个数中有至少2个偶数，利用组合数公式即可求得答案．

解答： 解：1，2，…，2003个数中有1002个奇数，1001个偶数，
依题意，A中的三个数成等差数列，可分两类：
①3个数中有至少2个奇数：从1002个奇数里边任意选两个，一定找到另外唯一的一个与这两个奇数构成等差数列，共有

C

2 1002

种方法；
②3个数中有至少2个偶数：同理可得，共有

C

2 1001

种方法；
综上所述，共有

C

2 1001

+

C

2 1002

个，
故选：B．

点评：本题考查等差数列的概念，突出考查排列组合的应用，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于难题．