Question

已知函数f（x）=x²+ax+3．
（1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求a的范围．
（2）当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，求a的范围．
（3）当方程|f（x）|=a的根恰有三个时，它们分别为x₁，x₂，x₃．求此时的a，并求x₁+x₂+x₃的值．

Answer 1

考点：二次函数的性质,二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若当x∈R时，f（x）≥a恒成立，即x²+ax+3-a≥0恒成立，必须且只需△=a²-4（3-a）≤0，解不等式可得a的范围．
（2）当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，则当x∈[-2，2]时f（x）的最小值不小于a，分类讨论函数的最小值，最后综合讨论结果，可得a的范围．
（3）当方程|f（x）|=a的根恰有三个时，a=6，结合此时函数图象的对称轴为x=-3，得到答案．

解答： 解：（1）f（x）≥a恒成立，
即x²+ax+3-a≥0恒成立，
必须且只需△=a²-4（3-a）≤0，
即a²+4a-12≤0，
∴-6≤a≤2．
（2）f（x）=x²+ax+3=（x+

a

2

）²+3-

a2

4

．
①当-

a

2

＜-2，即a＞4时，
f（x）_min=f（-2）=-2a+7，
由-2a+7≥a得a≤

7

3

，
∴a∈∅．
②当-2≤-

a

2

≤2，即-4≤a≤4时，
f（x）_min=3-

a2

4

，
由3-

a2

4

≥a，得-6≤a≤2．
∴-4≤a≤2
③当-

a

2

＞2，即a＜-4时，
f（x）_min=f（2）=2a+7，
由2a+7≥a，得a≥-7，
∴-7≤a＜-4．
综上得a∈[-7，2]．
（3）当方程|f（x）|=a的根恰有三个时，

a2+4(a-3)=0 a2-4(a+3)＞0

，或

a2+4(a-3)＞0 a2-4(a+3)=0

，
解得：a=6，
函数f（x）=x²+ax+3的图象关于直线x=-3对称，
故y=|f（x）|的图象关于直线x=-3对称，
方程|f（x）|=a的根恰有三个时，它们分别为x₁，x₂，x₃．
x₁+x₂+x₃=-9

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，恒成立问题，函数图象的对折变换，二次函数在定区间上的最值问题，难度中档．