Question

已知：

a

=（

3

sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），f（x）=2

a

•

b

（x∈R）．
（1）求f（x）关于x的表达式，并求f（x）的最小正周期；
（2）已知g（x）=f（x）+2m-1，若x∈[0，

π

2

]时，g（x）的最小值为5，求m的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的数量积的坐标公式和二倍角公式，两角和的正弦公式，化简f（x），再由周期公式，即可得到；
（2）由x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，当2x+

π

6

=

7π

6

即x=

π

2

时，g（x）的最小值为2m-1，由条件即可求得m．

解答： 解：（1）由于

a

=（

3

sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），
则f（x）=2

a

•

b

=2

3

sinxcosx+2cos²x
=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
则f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π；
（2）g（x）=f（x）+2m-1=2sin（2x+

π

6

）+2m，
x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
当2x+

π

6

=

7π

6

即x=

π

2

时，g（x）的最小值为2m-1，
即有2m-1=5，
解得m=3．

点评：本题考查三角函数的化简和求最值，考查平面向量的数量积的坐标公式，以及二倍角公式及两角和的正弦公式的运用，考查正弦函数的周期和单调性及运用，属于中档题．