10．在学习完矩形的内容后.某课外学习小组对矩形的运动问题进行了研究.如图.在矩形ABCD中.AB=4.BC=6.点O为矩形ABCD对角线的交点．操作发现:如图(1)所示.点E为AD边上任意一点.连接——青夏教育精英家教网——

10．在学习完矩形的内容后，某课外学习小组对矩形的运动问题进行了研究，如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点O为矩形ABCD对角线的交点．
操作发现：
如图（1）所示，点E为AD边上任意一点，连接EO并延长与BC边交于点F．
（1）小组成员甲发现“AE=CF”，请你完成证明；
（2）如图（2），连接BE、DF，小组成员乙发现“四边形BEDF的形状一定是平行四边形，当AE的长为$\frac{5}{3}$时，四边形BEDF是菱形”；
探究发现：
受前面两位组员的启发，小组成员丙与丁对图形进一步操作，将图（2）中的△ABE与△CDF分别沿BE与DF进行翻折，点A与点C分别落在矩形ABCD内的点A′，C′处．
（3）如图（3），连接A′D，BC′，发现“四边形BA′DC′是平行四边形”，请你证明这个结论；
（4）如图（4），连接A′C′，A′C′有最小值吗？若有，请你直接写出AE的长；若没有，请说明理由．

如图，一束平行太阳光照射到正方形上，若∠α=28°，则∠β=62°．

8．提出问题：
（1）如图1，将长方形纸片剪两刀，其中AB∥CD，则∠2与∠1、∠3度数之间有何等量关系？请说明你的理由．
类比探究：
（2）如图②，将长方形纸片剪四刀，其中AB∥CD，则∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的度数之间的等量关系为是∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．
综合应用
（3）如图③，直线AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM=40°．
（4）如图④，直线AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD=55°，则∠BED=110°．

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，若点C的对应点C′落在AB边上，则旋转角为（　　）

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OBCD的顶点B，D的坐标分别为（8，0），（0，4）．若反比例函数y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的图象经过对角线OC的中点A，分别交DC边于点E，交BC边于点F．设直线EF的函数表达式为y=k₂x+b．
（1）反比例函数的表达式是y=$\frac{8}{x}$；
（2）求直线EF的函数表达式，并结合图象直接写出不等式k₂x+b$＜\frac{{k}_{1}}{x}$的解集；
（3）若点P在直线BC上，将△CEP沿着EP折叠，当点C恰好落在x轴上时，点P的坐标是（8，3$\sqrt{5}-5$）或（8，-3$\sqrt{5}$-5）．

如图，在△ABC中，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁，当点C₁在线段CA的延长线上时，则∠CC₁A₁=60°．

4．作图题
用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段a
求作：矩形ABCD，使它的对角线AC、BD相交于O点，且AC=a，∠AOB=60°．

如图，在长方形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，AD=1，该长方形绕点A顺时针旋转α度得长方形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则线段BC′的长是2-$\sqrt{3}$．

如图△ABC中，点D为BC的中点，AB=5，AC=3，AD=2，则CD长为$\sqrt{13}$．

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若AB=$\sqrt{3}$，E是半圆$\widehat{AGF}$上一动点，连接AE，AD，DE．
填空：
①当$\widehat{AE}$的长度是$\frac{2}{3}$π时，四边形ABDE是菱形；
②当$\widehat{AE}$的长度是$\frac{1}{3}$π或π时，△ADE是直角三角形．

0 282078 282086 282092 282096 282102 282104 282108 282114 282116 282122 282128 282132 282134 282138 282144 282146 282152 282156 282158 282162 282164 282168 282170 282172 282173 282174 282176 282177 282178 282180 282182 282186 282188 282192 282194 282198 282204 282206 282212 282216 282218 282222 282228 282234 282236 282242 282246 282248 282254 282258 282264 282272 366461