Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若AB=$\sqrt{3}$，E是半圆$\widehat{AGF}$上一动点，连接AE，AD，DE．
填空：
①当$\widehat{AE}$的长度是$\frac{2}{3}$π时，四边形ABDE是菱形；
②当$\widehat{AE}$的长度是$\frac{1}{3}$π或π时，△ADE是直角三角形．

Answer 1

分析 （1）首先连接OD，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，⊙O恰好经过边BC的中点D，易得AB=BD，继而证得∠ODB=∠BAC=90°，即可证得结论；
（2）①易得当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形，然后求得∠AOE的度数，半径OD的长，则可求得答案；
②分别从∠ADE=90°，∠DAE=90°，∠AED=90°去分析求解即可求得答案．

解答 （1）证明：如图1，连接OD，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$BC，
∵D是BC的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODB=∠BAO=90°，
即OD⊥BC，
∴BD是⊙O的切线．

（2）①当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形；
如图2，设DE交AC于点M，连接OE，则DE=2DM，
∵∠C=30°，
∴CD=2DM，∴DE=CD=AB=$\frac{1}{2}$BC，
∵∠BAC=90°，
∴DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵AB=BD，
∴四边形ABDE是菱形；
∵AD=BD=AB=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∴△ABD是等边三角形，OD=CD•tan30°=1，
∴∠ADB=60°，
∵∠CDE=90°-∠C=60°，
∴∠ADE=180°-∠ADB-∠CDE=60°，
∴∠AOE=2∠ADE=120°，
∴$\widehat{AE}$的长度为：$\frac{120×π×1}{180}$=$\frac{2}{3}$π；
故答案为：$\frac{2}{3}π$；

②若∠ADE=90°，则点E与点F重合，此时$\widehat{AE}$的长度为：$\frac{180×π×1}{180}$=π；
若∠DAE=90°，则DE是直径，则∠AOE=2∠ADO=60°，此时$\widehat{AE}$的长度为：$\frac{60×π×1}{180}$=$\frac{1}{3}$π；
∵AD不是直径，
∴∠AED≠90°；
综上可得：当$\widehat{AE}$的长度是$\frac{1}{3}$π或π时，△ADE是直角三角形．
故答案为：$\frac{1}{3}$π或π．

点评 此题属于圆的综合题．考查了切线的判定与性质、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及弧长公式等知识．注意准确作出辅助线，利用分类讨论思想求解是解此题的关键．