Question

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OBCD的顶点B，D的坐标分别为（8，0），（0，4）．若反比例函数y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的图象经过对角线OC的中点A，分别交DC边于点E，交BC边于点F．设直线EF的函数表达式为y=k₂x+b．
（1）反比例函数的表达式是y=$\frac{8}{x}$；
（2）求直线EF的函数表达式，并结合图象直接写出不等式k₂x+b$＜\frac{{k}_{1}}{x}$的解集；
（3）若点P在直线BC上，将△CEP沿着EP折叠，当点C恰好落在x轴上时，点P的坐标是（8，3$\sqrt{5}-5$）或（8，-3$\sqrt{5}$-5）．

Answer 1

分析 （1）求出点A坐标代入y=$\frac{{k}_{1}}{x}$即可解决．
（2）根据一次函数的图象在反比例函数图象的下面，即可写出不等式的解集．
（3）如图作EM⊥OB于M，利用翻折不变性，设设PC=PN=x，利用△EMN∽△NBP得$\frac{PN}{EN}$=$\frac{PB}{MN}$，求出x即可解决问题．

解答 解：（1）∵四边形OBCD是矩形，
∴OD=BC=4，OB=CD=8，
∵OA=OC，
∴点A坐标（4，2），
∵点A在反比例函数y=$\frac{{k}_{1}}{x}$上，
∴k₁=8，
∴反比例函数为y=$\frac{8}{x}$，
故答案为y=$\frac{8}{x}$．
（2）∵点E、F在反比例函数图象上，
∴点E坐标（2，4），点F坐标（8，1），设直线EF为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{8k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直线EF为y=-$\frac{1}{2}$x+5，
于图象可知不等式k₂x+b＜$\frac{{K}_{1}}{x}$的解集为x＜2或x＞8．
（3）如图作EM⊥OB于M，
∵∠DOM=∠EMO=∠EDO=90°，
∴四边形DEMO是矩形，
∴EM=DO=4，
∵△EPN是由△EPC翻折得到，
∴EC=EN=6，PC=PN，∠ECP=∠ENP=90°，设PC=PN=x，MN=$\sqrt{E{N}^{2}-E{M}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠ENM+∠PNB=90°，∠PNB+∠NPB=90°，
∴∠ENM=∠NPB，∵∠EMN=∠PBN，
∴△EMN∽△NBP，
∴$\frac{PN}{EN}$=$\frac{PB}{MN}$，
∴$\frac{x}{6}$=$\frac{4-x}{2\sqrt{5}}$，
∴x=9-3$\sqrt{5}$，
∴PB=BC-PC=4-（9-3$\sqrt{5}$）=3$\sqrt{5}$-5．
当点P′在CB延长线上时，由△EMN′∽△N′BP′，设P′B=x，
∵$\frac{P′N′}{EN′}$=$\frac{P′B}{MN′}$，
∴$\frac{4+x}{6}$=$\frac{x}{2\sqrt{5}}$，
∴x=3$\sqrt{5}$+5，此时点P坐标（8，-3$\sqrt{5}$-5）
故答案为（8，3$\sqrt{5}$-5）或（8，-3$\sqrt{5}$-5））

点评 本题考查反比例函数、一次函数的有关知识、翻折变换等知识，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形，学会待定系数法确定函数解析式，学会利用函数图象确定自变量的取值范围，属于中考压轴题．