Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D为BC上一点且与B、C不重合．∠ADE=45°，交AC于E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数表达式；
（3）当△ADE是直角三角形时，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证△ABD∽△DCE；
（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式；
（3）由题意得到∠DAE＜∠BAC＜90°，由∠ADE=45°，于是得到当△ADE是直角三角形时，只有∠AED=90°，推出△AED是等腰直角三角形，于是得到结论．

解答 解：（1）△ABD与△DCE相似，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=∠ADE=45°，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE；

（2）由（1）得△ABD∽△DCE
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{CD}$
∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴BC=2$\sqrt{2}$，DC=2$\sqrt{2}$-x，EC=2-y
∴$\frac{x}{2-y}=\frac{2}{2\sqrt{2}-x}$，
∴y=$\frac{1}{2}$x²-$\sqrt{2}$x+2；

（3）∵∠DAE＜∠BAC，
∴∠DAE＜90°，
∵∠ADE=45°，
∴当△ADE是直角三角形时，
只有∠AED=90°，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴AE=DE，∠DAE=45°，
∴∠ADC=90°，
∴AC=CD，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=1．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，求二次函数的解析式，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．