Question

9．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，D为⊙O上一点，且∠DCB=45°，若AC=4，BC=12，求CD的长．

Answer 1

分析 过点O作OE⊥CD，连接OD，易得△OCE为等腰直角三角形，OE=CE，由AC=4，BC=12，得AB=16，AO=BO=DO=8，OC=4，由勾股定理得OE=CE=2$\sqrt{2}$，易得DE的长，解得CD．

解答 解：过点O作OE⊥CD，连接OD，
∵∠DCB=45°，OE⊥CD，
∴△OCE为等腰直角三角形，
即OE=CE，
又∵AC=4，BC=12，
∴AB=16，AO=BO=DO=8，
∴OC=8-4=4，
∴OE=CE=2$\sqrt{2}$，
∴DE=$\sqrt{O{D}^{2}-O{E}^{2}}$=2$\sqrt{14}$，
∴CD=CE+DE=2$\sqrt{2}+2\sqrt{14}$，
故CD的长为2$\sqrt{2}+2\sqrt{14}$．

点评 本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，做出适当的辅助想，构建等腰直角三角形是解答此题的关键．