Question

11．某数学兴趣小组对函数y=x+$\frac{1}{x}$的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．

x

…

-3

-2

-1

-$\frac{1}{2}$

-$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{2}$

1

2

3

…

y

…

-$\frac{10}{3}$

m

-2

-$\frac{5}{2}$

-$\frac{10}{3}$

$\frac{10}{3}$

$\frac{5}{2}$

2

$\frac{5}{2}$

$\frac{10}{3}$

…

（1）自变量x的取值范围是x≠0，m=-$\frac{5}{2}$．
（2）根据（1）中表内的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分．
（3）请你根据函数图象，写出两条该函数的性质；
（4）进一步探究该函数的图象发现：
①方程x+$\frac{1}{x}$=3有2个实数根；
②若关于x的方程x+$\frac{1}{x}$=t有2个实数根，则t的取值范围是t＜-2或t＞2．

Answer 1

分析 （1）由x在分母上，即可得出自变量x的取值范围是x≠0，将x=-2代入函数关系式中即可求出m值；
（2）描点、连线，补充函数图象；
（3）观察函数图象，随便找出两条该函数的性质即可；
（4）①观察函数图象，由函数y=x+$\frac{1}{x}$的图象与直线y=3的交点的个数，可得出结论；
②观察函数图象，找出当t＜-2或t＞2时，函数y=x+$\frac{1}{x}$的图象与直线y=t有两个交点，此题得解．

解答 解：（1）∵x在分母上，
∴x≠0．
当x=-2时，m=y=-2+$\frac{1}{-2}$=-$\frac{5}{2}$．
故答案为：x≠0；-$\frac{5}{2}$．
（2）描点、连线，画出函数图象，如图所示．
（3）观察函数图象，可找出函数性质：
①函数图象关于原点中心对称；②当x＞1时，y的值随x值的增大而增大．
（4）①方程x+$\frac{1}{x}$=3可看成函数y=x+$\frac{1}{x}$的图象与直线y=3的交点的个数，
∵函数y=x+$\frac{1}{x}$的图象与直线y=3有两个交点，
∴方程x+$\frac{1}{x}$=3有2个实数根．
故答案为：2．
②观察函数图象可知，当t＜-2或t＞2时，函数y=x+$\frac{1}{x}$的图象与直线y=t有两个交点．
故答案为：t＜-2或t＞2．

点评 本题考查了反比例函数的性质、一次函数的图象、一次函数的性质以及反比例函数的图象，解题的关键是：（1）由x在分母上找出x的取值范围；（2）描点、连线，补充函数图象；（3）观察函数图象，找出该函数的性质；（4）①由函数y=x+$\frac{1}{x}$的图象与直线y=3有两个交点得出结论；②观察函数图象，找出结论．