题目内容
6．△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作∠ODC=∠AOC，交BC边于点D．（1）如图1，求∠BOD的度数；
（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．
①求证：BF∥OD；
②若∠F=50°，求∠BAC的度数；
③若∠F=∠ABC=40°，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α后得△B′OD′（0°＜α＜360°），B′D′所在直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值．
分析 （1）根据角平分线的定义得到∠OAC+∠OCA=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC），∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，由三角形的内角和得到∠AOC=90°+∠OBC，∠ODC=90°+∠OBD，于是得到结论；
（2）①由角平分线的性质得到∠EBF=90°-∠DBO，由三角形的内角和得到∠ODB=90°-∠OBD，于是得到结论；
②由角平分线的性质得到∠FBE$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB），∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
③求出∠ODB的度数即可解决问题；
解答 （1）解：∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠OAC+∠OCA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠BCA）=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC），
∵∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=90°+$\frac{1}{2}$∠ABC=90°+∠OBC，
∵∠ODC=∠BOD+∠OBC=∠AOC
∴∠BOD=90°．
（2）①证明：∵BF平分∠ABE，
∴∠EBF=$\frac{1}{2}$∠ABE=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC）=90°-∠DBO，
∵∠ODB=90°-∠OBD，
∴∠FBE=∠ODB，
∴BF∥OD；
②∵BF平分∠ABE，
∴∠FBE=$\frac{1}{2}$∠ABE=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB），
∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠F=∠FBE-∠BCF=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB）-$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠F=50°，
∴∠BAC=2∠F=100°．
③∵∠F=∠ABC=40°，
由②可知，∠BAC=80°，∠BDO=∠ACB=60°，∠OCD=30°，∠COD=30°，
易知将△BOD绕点O顺时针旋转30°或210°后得△B′OD′（0°＜α＜360°），B′D′所在直线与FC平行．
点评 本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，旋转变换等知识，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
某数学兴趣小组对函数y=x+$\frac{1}{x}$的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．| x | … | -3 | -2 | -1 | -$\frac{1}{2}$ | -$\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | 1 | 2 | 3 | … |
| y | … | -$\frac{10}{3}$ | m | -2 | -$\frac{5}{2}$ | -$\frac{10}{3}$ | $\frac{10}{3}$ | $\frac{5}{2}$ | 2 | $\frac{5}{2}$ | $\frac{10}{3}$ | … |
（2）根据（1）中表内的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分．
（3）请你根据函数图象，写出两条该函数的性质；
（4）进一步探究该函数的图象发现：
①方程x+$\frac{1}{x}$=3有2个实数根；
②若关于x的方程x+$\frac{1}{x}$=t有2个实数根，则t的取值范围是t＜-2或t＞2．
