Question

20．如图，AB是半圆O的直径，射线AM⊥AB，点P在AM上，连接OP交半圆O于点D，PC切半圆O于点C，连接BC，OC．
（1）求证：△OAP≌△OCP；
（2）若半圆O的半径等于2，填空：
①当AP=2时，四边形OAPC是正方形；
②当AP=2$\sqrt{3}$时，四边形BODC是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质，可以得到OP⊥AC，然后利用“HL”证明：△OAP≌△OCP；
（2）①根据正方形的性质可以得到AP的长；
②先利用菱形的性质得到△OBC为等边三角形，则∠B=60°，所以∠AOP=60°，然后在Rt△OAP中利用正切的定义求AP即可．

解答 （1）证明：∵PC切半圆O于点C，
∴OC⊥PC，
∵AM⊥AB，
∴∠OAP=90°，
在Rt△OAP和Rt△OCP中
$\left\{\begin{array}{l}{OP=OP}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△OAP≌Rt△OCP；
（2）解：①∵Rt△OAP≌Rt△OCP，
∴PA=PC，
而OA=OC，
∴当AO=AP时，四边形OAPC为菱形，
而∠OAP=90°，
∴四边形OAPC是正方形，
此时AP=OA=2；
②∵四边形BODC是菱形，
∴OB=OD=CD=BC，BC∥OD，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠AOP=60°，
在Rt△OAP中，∵tan∠AOP=$\frac{AP}{OA}$，
∴AP=2tan60°=2$\sqrt{3}$，
即AP=2$\sqrt{3}$时，四边形BODC是菱形．
故答案为2，2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质、菱形和正方形的判定方法；会灵活利用全等三角形的判定方法证明两三角形全等．